Matematika - Persamaan Dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Penjelasan Beserta Contoh Penyelesaian Soal Lengkap

Dalam matematika, nilai absolut atau nilai mutlak adalah nilai suatu bilangan riil tanpa tanda plus atau minus. 

Jean Robert Argand memperkenalkan istilah "module" pada tahun 19806 di Perancis khususnya untuk nilai absolut bilangan kompleks. Pada materi ini kita akan mempelajari tentang "Persamaan Dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak. 

Selamat Belajar  :)

A. Nilai Mutlak

1. Konsep Nilai Mutlak

Nilai mutlak dari x ditulis |x|, adalah jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real. karena jarak selalu positif atau nol maka nilai mutlak x juga selalu bernilai positif atau nol untuk setiap x bilangan real. secara formal, nilai mutlak x di definisikan dengan :

            x; untuk x >0
|x|={
           -x; untuk x<0

atau dapat ditulis
|x|=x jika x >0
|x|=-x jika x<0

contoh:
|4|=4
|0|=0
|-2|= -(-2)=2
Contoh soal yang pertama !
tulislah f(x)=|x-3| dalam bentuk definisi nilai mutlak!

Rumus:

        x; untuk x >0
|x|={
        -x; untuk x<0

Jawab:

                  (x-3), (x-3)>0 maka x-3>0
                                                        x>3
f|x|=|x-3|={
                   (x+3), (x-3)<0 maka x<3

Contoh soal yang kedua !
tulislah |x-2|+|x-3| tanpa nilai mutlak!

Rumus:
|x-a|+|x-b|={2x-a-b, Jika x>b
                   {b-a      , Jika a<x<b
                   {a+b-2x, Jika x<a
Jawab:
|x-2|+|x-3|={2x-5 , Jika x>3
                   {1       , Jika 2<x<3

                   {5-2x  , Jika x<2

jadi dapat disimpulkan bahwa nilai mutlak bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri dan nilai mutlak bilangan negatif adalah lawan bilangan tersebut.

2. Sifat-Sifat Nilai Mutlak

a. |x|=a dengan a>0
    Persamaan |x|=a artinya jarak dari x ke 0 sama dengan a. 

Perhatikan gambar berikut.

jarak -a ke 0 sama dengan jarak a ke 0 yaitu a. Posisi x ditunjukan pada gambar diatas yaitu x=-a atau x=a. Jadi, agar jarak x ke 0 sama dengan a, maka x=-a atau x=a.

Rumus berdasarkan sifat a:

|ax+b|=p HP(himpunan penyelesaian)=>  ax+b=p atau ax+b=-p

Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
a. |2x-7|=3
b. |2x-1|=|x+4|
Jawab:

a. Berdasarkan sifat a:
    |2x-7|=3
     2x-7 =3      atau   2x-7=-3
  =>  2x =3+7               2x =-3+7
        2x =10                  2x =4
          x =10÷2                x =4÷2
          x =5                       x =2

Jadi, HP={2,5}.

b. Berdasarkan sifat a:
    |2x-1|=|x+4|
     2x-1 =x+4    atau   2x-1=-(x+4)
  => 2x-x=4+1              2x+x=-4+1
        x    =5                   3x   =-3
                                        x   =-3÷3
                                        x   =-1

Jadi, HP={-1,5}

b. |x| <a untuk a> 0
    Pertidaksamaan |x| <artinya jarak dari x ke 0 kurang dari a.
Perhatikan gambar berikut.

Posisi x ditunjukan pada gambar di atas yaitu antara -a dan a yang ditulis -a<x<a.

jika diambil sembarang titik pada interval tersebut, maka jaraknya ke 0 kurang dari a. Jadi, agar jarak x ke 0 kurang dari a, maka -a<x<a.

Rumus berdasarkan sifat b:

|ax+b|<p HP(himpunan penyelesaian)=> -p<ax+b<p

Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
a. |2x-1|<7
Jawab:

a. Berdasarkan sifat b:
         |2x-1|<7
 =>   -7<2x-1<7
 =>  -7+1<2x<7+1
 =>       -6<2x<8

 =>       -3<x<4

Jadi, HP= {-3<x<4}

c. |x| >a untuk a>0
    Pertidaksamaan |x| artinya jarak dari x ke 0 lebih dari a.
Perhatikan gambar berikut.

Posisi x ditunjukkan pada gambar diatas yaitu x<-a atau x>a. jika diambil sembarang titik pada interval tersebut, maka jaraknya ke 0 lebih dari a. jadi, agar jarak x ke 0 lebih dari a, maka x<-a atau x>a.

Rumus berdasarkan sifat c:
|ax+b|>p HP(himpunan penyelesaian)=> ax+b<-p atau ax+b>p

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari:

a. |4x+2|>6
b. |3x-2| >|2x+7|

Jawab: 

a. Berdasarkan sifat c:
    |4x+2|>6
     4x+2<-6   atau   4x+2>6
=> 4x<-8                       4x>4
=>   x<-2                        x>1

Jadi, HP={x<-2 atau x>1}

b. Bersarkan sifat c:
    |3x-2|>|2x+3|
     3x-2<-(2x+7)  atau  3x-2>2x+7
=>  5x  <-5                         x  >9
=>    x  <-1

Jadi, HP={x<-1 atau x >9}

    

B. Menyelesaikan Permasalahan yang Berkaitan dengan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Dalam kehidupan sehari-hari banyak permasalahan yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak.

Contoh:

1. Sebuah pabrik memproduksi paku baja dengan panjang 5 cm. Toleransi kesalahan pengukuran yang diterima adalah 0,5 cm. Agar paku baja yang di produksi lolos kontrol kualitas, tentukan:

a. panjang maksimal paku yang diterima.

b. panjang minimal paku yang diterima.

2. Suatu resep menyarankan adonan kue dapat mengembang sempurna pada suhu 150°C. Jika tegangan listrik dengan suhu ruangan dapat membuat suhu oven menyimpang sebesar 4°C, tentukan interval perubahan suhu oven tersebut!

3. Sebuah mobil dengan merk A tertulis angka konsumsi penggunaan bensin yaitu 12 km/L. indeks kisaran tempuh mobil A adalah 2,8. Jika Arman mengendarai mobil tersebut yang bensinnya tersisa 1 liter, maka pada jarak beberapa Arman setidaknya harus mengisi bensin dan berapa jarak tempuh maksimal yang bisa di tempuh Arman?

Penyelesaian:
1. a. x-5=0,5
    =>  x  =0,5+5
    =>  x  =5,5
Jadi, panjang maksimal paku yang diterima adalah 5,5 cm.

     b. x-5=-0,5
     =>  x =-0,5+5
     =>  x =4,5
Jadi, panjang minimal paku yang diterima adalah 4,5 cm.

2. Misalnya, T adalah kemungkinan perubahan suhu oven karena pengaruh tegangan listrik dan suhu ruangan. Dalam hal ini, permasalahan tersebut dapat disajikan dalam bentuk pertidak samaan nilai mutlak.

|T-4|<150
=>  -150<T-4<150
=>  -150+4<T<150+4
=>  -146<T<154

Jadi interval perubahan suhu oven tersebut adalah {T|-146°C<T<154°C}.

3. |S-12|<2,8
     S adalah jarak tempuh.
penulisan ini karena selisih jarak tempuh dan ketetapan perancangan (12km/L) hanya memiliki indeks kisaran 2,8 tidak lebih dari itu.
-2,8 <S-12<2,8
=>  -2,8+12<S-12+12<2,8+12
=>  9,2<S<14,8

Jadi, dari penyelesaian tersebut dikatakan bensin pada mobil A (dengan bensin 1 L) yang dikendarai Arman akan habis pada jarak antara 9,2 km hingga 14,8 km. Agar lebih aman, Arman melakukan pengisian ulang bahan bakar pada jarak 9,2 km. Sementara itu , jarak tempuh maksimal yang bisa ditempuh Arman adalah 14,8 km.

Terimakasih ya... sudah berkunjung ^_^

"Semoga bermanfaat"

More Tag :

Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak , Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel - SMAtika , Contoh Soal Nilai Mutlak Beserta Jawabannya - RumusRumus.com , soal-soal persamaan nilai mutlak , contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak dan penyelesaiannya pdf , kumpulan soal persamaan nilai mutlak beserta jawabannya , pertidaksamaan nilai mutlak pecahan , contoh soal persamaan nilai mutlak dan pembahasannya kelas 10 , materi persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak doc , kumpulan soal pertidaksamaan nilai mutlak beserta jawabannya , materi persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel .

Bagikan Artikel ini